최단경로

최단 경로

• 최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제로도 불린다.
• '한 시점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우' ... 등의 다양한 사례가 존재한다.
• 최단 경로는 보통 그래프를 이용하여 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로, 지점간 연결된 도로는 '간선'으로 표현된다. 
• 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.
• 다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘 등의 3가지가 주로 사용된다.

 

다익스트라 알고리즘 

• 다익스트라는 그래프에서 여러 노드가 있을 때, 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
• 다익스트라는 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다. 현실 세계의 길은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
• 기본적으로 다익스트라는 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드를 선택'해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.  
• 알고리즘의 원리는 다음과 같다.
  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다. 
• 다익스트라는 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 
• 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인하고, 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인하여 4번을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다. 

 

1. 간단한 다익스트라 알고리즘 (O(V^2))

• V는 노드의 개수를 의미하며, O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다.
• 처음에는 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언하고, 이후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트 모든 원소들을 순차 탐색한다. 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한대

# 노드, 간선의 개수 입력받기 
n,m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드의 정보를 담는 리스트 생성 
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 방문 여부를 체크하는 리스트 생성 
visited = [False]*(n+1)
# 최단거리 테이블 모두 무한으로 초기화 
distance = [INF]*(n+1)

for _ in range(m):
	# a->b로 가는 비용이 c
	a,b,c = map(int, input().split())
    graph[a].append(b,c)

# 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
	min_val = INF
    index = 0 # 최단거리가 가장 짧은 노드의 번호
    
    for i in range(1,n+1):
    	if distance[i] < min_val and not visited[i]:
        	min_val = distance[i]
            index = i
    return index
    
def dijkstra(start):
	# 시작노드에 대해서 초기화 
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[1]
        
     # 시작노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
     for i in range(n-1):
     	# 현재 최단거리가 가장 짧은 노드를 꺼내 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
        	cost = distance[now] + j[1]
            # 현재노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 
            if cost < distance[j[0]]:
            	distance[j[0]] = cost
                
# 다익스트라 수행 
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력 
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print('무한')
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력 
    else:
    	print(distance[i])